大一下学期高等数学期中考试试卷及答案

大一第二学期高等数学期中考试试卷

一、填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分），请将合适的答案填在空中。

，3，则该球面的方1、已知球面的一条直径的两个端点为2，3，5和4，1程为______________________

2、函数uln(xy2z2)在点A(1,0,1)处沿点A指向点B(3,2,2)方向的方向导数为

3、曲面zx2y2与平面2x4yz0平行的切平面方程为 4、

(x,y)(0,0)lim(1cos(x2y2))sinxy(xy)e2222x2y2

2z_______________ 5、设二元函数zxyxy，则

xy3二、选择填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分）。以下每道题有四个答案，其中只有一个答案是正确的，请选出合适的答案填在空中，多选无效。

1、旋转曲面x2y2z21是（ ） （A）．xOz坐标面上的双曲线绕Ox轴旋转而成； （B）．xOy坐标面上的双曲线绕Oz轴旋转而成； （C）．xOy坐标面上的椭圆绕Oz轴旋转而成； （D）．xOz坐标面上的椭圆绕Ox轴旋转而成．

2、微分方程yy2xcosx3x2的一个特解应具有形式（ ） 其中a1,b1,a2,b2,d1,d2,d3都是待定常数.

(A).x(a1xb1)cosxx(a2xb2)sinxd1x;

(B).x(a1xb1)cosxx(a2xb2)sinxd1xd2xd3; (C).x(a1xb1)(a2cosxb2sinx)d1xd2xd3; (D).x(a1xb1)(cosxsinx)d1xd2xd3

2222y1z与平面:x2y z4,则 （ ） 222 (A).L在内; (B).L与不相交; (C).L与正交; (D).L与斜交. 4、下列说法正确的是（ ）

(A) 两向量a与b平行的充要条件是存在唯一的实数，使得ba；

2z2z(B) 二元函数zfx,y的两个二阶偏导数2,2在区域D内连续，则在该区

xy域内两个二阶混合偏导必相等；

3、已知直线L:x2;..

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(C) 二元函数zfx,y的两个偏导数在点x0,y0处连续是函数在该点可微的

充分条件；

(D) 二元函数zfx,y的两个偏导数在点x0,y0处连续是函数在该点可微 的必要条件.

2z5、设zf(2xy,x2y),且fC（即函数具有连续的二阶连续偏导数），则xy2（ ）

(A)2f112f223f12; (B)2f11f223f12; (C)2f11f225f12; (D)2f112f22f12.

三、计算题（本大题共29分） 1、（本题13分）计算下列微分方程的通解。

(1)（6分）y1xyxy

22

(2)（7分）y3y2yxe2x

2t2、（本题8分）设zuvtcosu，ue，vlnt，求全导数

dz。 dt

;..

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2x23、（本题8分）求函数fx,yexy2y的极值。

四、应用题（本题8分）

1、某工厂生产两种型号的机床，其产量分别为x台和y台，成本函数为

c(x,y)x22y2xy （万元），若市场调查分析，共需两种机床8台，求如何

安排生产使其总成本最少？最小成本为多少？

五、综合题（本大题共21分）

yzxz111、（本题10分）已知直线l1：bc，l2：ac，求过l1且平行于l2的

x0y0平面方程．

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2、（本题

11

分）设函数f(x,y,z)lnxlny3lnz 在球面

x0,y0上求一点,z0)，使函数f(x,y,z)取到最大值．

x2y2z25R(2

六、证明题（本题共12分）

1、设函数uxFkz,xy，其中k是常数，函数F具有连续的一阶偏导数．试xy x证明:x

uuuzyzkxkF,xyzx

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第二学期高等数学期中考试试卷答案

一、填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分） 1.、 x3y1z121

2222、

1． 23、2x4yz50． 4、0 5、2y3x；

2二、选择填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分）

1（A） 2（B） 3（C） 4（C） 5（A）

三、计算题（本大题共29分）

1、（1）解：将原微分方程进行分离变量，得：

dy(1x)dx

1y2dyx2 上式两端积分得arctany(1x)dxxc

21y2x2c 其中c为任意常数． 即 ： arctanyx2（2）解：题设方程对应的齐次方程的特征方程为r23r20,特征根为r11,

r22,于是，该齐次方程的通解为YC1xC2e2x,因2是特征方程的单

根，故可设题设方程的特解：y*x(b0xb1)e2x.代入题设方程,得

12b0xb12b0x,比较等式两端同次幂的系数,得b0, b11,

2 于是，求得题没方程的一个特解y*x(x1)e2x.

从而，所求题设方程的通解为yC1exC2e2xx(x1)e2x. 2、解：

zuv2tcosuv2tsinu， uu1212;..

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zzuv2tcosu2uv，cosu vvt 依复合函数求导法则，全导数为

dzzduzdvzdt dtudtvdttdt1 v2tsinuet2uvcous1

t2 ln2ttsinetetetlntcoestt

2x2fxx,ye2x2y4y1013、解：解方程组，得驻点,1。由于2x2fyx,ye2y20Afxxx,y4e2xxy22y1，Bfxyxy4e2xy1，Cfyyx,y2e2x11在点,1处，所以函数在点,1ACB24e2，A2e0，B0，C2e，

22e1处取得极小值，极小值为f,1。

22四、应用题（本题8分）

1、解：即求成本函数cx, 构造辅助函数 Fx,y在条件xy8下的最小值

yx22y2xy(xy8)

Fx2xy0解方程组 Fyx4y0

Fxy80解得 7,x5,y3

这唯一的一组解，即为所求，当这两种型号的机床分别生产5台和3台时，总成本最小，最小成本为：c(5,3)522325328（万） 五、综合题（本大题共21分）

1、解：直线l1与l2的方向向量分别为 1111s10，，1，0，00，，，

bccb1111 s2，0，0，1，0，0，，

caac111作 ns1s2，，2，

bccca;..

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1110，0，cP取直线l1上的一点P，则过点且以为法向n，，112cabccxyz量的平面10 ，

abc就是过l1且平行于l2的平面方程．

2、解：设球面上点为(x,y,z)．

令 L(x,y,z,)lnxlny3lnz(x2y2z25R2)，

Lx1112x0,Ly2y0,Lz2z0,Lx2y2z25R20 xy3z22z2由前三个式子得xy，代入最后式子得xyR,z3R．由题意得

3f(x,y,z)在球面上的最大值一定存在，因此唯一的稳定点(R,R,3R)就是最大

值点，最大值为f(R,R,3R)ln(33R5)． 六、证明题（本题共12分）1、证明：

uzkxk1F,xxzkxk1F,x

yzkxF,1xxyzzkxF,22xxxyzk2yxF2,xxy xy xy xyy2xxyzk2zxF1,xxuzxkF2,yxuzxkF1,zxy1zk1xF2,xxxy1zk1xF1,xxx

所以，xuuuyz xyz xkxk1F,zxyzk2zxF1,xxyzk2yxF2,xxy xy x yxk1zF2,xy xyzk1zxF1,xxzkxkF,x

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