什么是三线合一

发布网友 发布时间：2022-04-22 01:40

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热心网友 时间：2022-05-13 06:50

在△ABD和△ACD中：
{ BD=DC（等腰三角形的中线平分对应的边）
{ AB=AC（等腰三角形的性质)
｛ AD=AD（公共边）
∴△ADB≌△ADC（SSS）
可得∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠ADC (全等三角形对应角相等）
∵∠ADB+∠ADC=∠BDC（已证），且∠BDC=180°（平角定义）
∴∠ADB=∠ADC=90°（等量代换）
∴AD⊥BC
同理，若△ABC为等边三角形，结论同样成立。
得证
应用
1.∵AB=AC,BD=DC=1/2BC
∴AD⊥BD,AD平分∠BAC
2.∵AB=AC,AD⊥BC
∴BD=DC=1/2BC,AD平分∠BAC
3.∵AB=AC,AD平分∠BAC
∴AD⊥BD,BD=DC=1/2BC
逆命题
① 如果三角形中有一角的角平分线和它所对边的高重合，那么这个三角形是等腰三角形。
三线合一证明辅助线
② 如果三角形中有一边的中线和这条边上的高重合，那么这个三角形是等腰三角形。
③ 如果三角形中有一角的角平分线和它所对边的中线重合，那么这个三角形是等腰三角形。
①AD⊥BC于D，②AD平分∠BAC，③AD是BC中线
（1）若以①②为条件，求证AB=AC。理由如下：
∵∠ADB=∠ADC=90°，∠BAD=∠CAD，AD=AD，
∴△ABD≌△ACD(ASA)
∴AB=AC
（2）若以②③为条件，求证AB=AC。理由如下：
∵AD是BC中线，
∴S△ABD=S△ACD，
作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
又∵AD平分∠BAC，
∴DE=DF，
∴AB=AC（等底等高）
（3）若①③，求证AB=AC。理由如下：
∵BD=CD，∠ADB=∠ADC=90°，AD=AD，
∴△ABD≌△ACD，
∴AB=AC

热心网友 时间：2022-05-13 08:08

平面几何中把三角形的高、中线、角平分线叫做三线,三线合一就是说这三条线重合. 等边三角形的三线合一,反过来也是正确的,也就是说三线合一的三角形必是等边三角形